Session de rattrapage 2014

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On considère la fonction `f` définie sur `R` par ` f(x)= (xe^x -1)e^x `

et soit `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j)) `

1) Montrer que `lim_{ x to -infty} f(x) = 0 ` puis interpréter graphiquement ce résultat

2a) Montrer que ` lim_{ x to +infty} f(x)= +infty ` et `lim_{ x to +infty} (f(x))/x = +infty `

b) En déduire que la courbe `C_f` admet une branche parabolique au voisinage de `+infty` dont on déterminera la direction

3a) Montrer que pour tout ` x in R : f'(x)= e^x( e^x -1 +2xe^x) ` et vérifier que `f'(0)= 0 `

b) Montrer que ` e^x -1 >= 0 ` pour tout ` x in [0,+infty[ ` et `e^x -1 <= 0 ` pour tout ` x in ]-infty , 0]`

c) Montrer que `f` est croissante sur `[0,+infty[` et décroissante sur `]-infty , 0] ` puis dresser le tableau des variations de `f`

4a) Montrer que l'équation ` f(x)= 0 ` admet une solution unique `alpha` dans l intervalle `[0,+infty[` et que ` 1/2 < alpha < 1 ` ( on admet que `1/2e^(1/2) < 1 `

b ) Construire la courbe `C_f `

5) En utilisant une intégration par parties montrer que `int_0^(1/2) xe^(2x) dx =1/4 `

6) Calculer en `cm^2` , l 'aire du domaine du plan délimité par la courbe `C_f` , l'axe des abscisses et les droites d'équations `x= 0 ` et ` x= 1/2 `

On donne `abs(abs(vec(i))) = abs(abs(vec(j))) = 2cm `

1) Montrer que `lim_{ x to -infty} f(x) = 0 ` puis interpréter graphiquement ce résultat

On a ` lim_{ x to -infty} e^(x)= 0 ` et on a ` lim_{ x to -infty} xe^x = 0 => lim_{ x to -infty} (xe^x -1)= -1 `

`=> lim_{ x to -infty} (xe^x -1)e^x = 0xx(-1)= 0 `

`=> lim_{ x to -infty} f(x) = 0 `

la droite d'équation ` y = 0 ` est une asymptote horizontale à al courbe `C_f` au voisinage de ` -infty `

2a) Montrer que ` lim_{ x to +infty} f(x)= +infty ` et `lim_{ x to +infty} (f(x))/x = +infty `

On a ` lim_{ x to +infty} e^(x)= +infty ` et on a ` lim_{ x to +infty} xe^x = +infty => lim_{ x to +infty} (xe^x -1)= +infty `

`=> lim_{ x to +infty} (xe^x -1)e^x = +infty `

`=> lim_{ x to + infty} f(x) = +infty`

On a ` lim_{ x to +infty} (f(x))/x = lim_{ x to +infty} (xe^x -1) xxe^x/x = +infty `

car ` lim_{ x to +infty} e^x/x = +infty ` et ` lim_{ x to +infty} xe^x -1 = +infty `

`=> lim_{ x to +infty} (f(x))/x = +infty `

b) En déduire que la courbe `C_f` admet une branche parabolique au voisinage de `+infty` dont on déterminera la direction

On a `lim_{ x to +infty} (f(x))/x = +infty `

alors `C_f` admet une branche parabolique au voisinage de `+infty ` dirigée vers l'axe des ordonnées

3 a) Montrer que pour tout ` x in R : f'(x)= e^x( e^x -1 +2xe^x) ` et vérifier que `f'(0)= 0 `

On a ` f'(x)= (xe^x -1)'e^x + (xe^x -1)(e^x)' `

` = (x'e^x + x(e^x)')e^x + (xe^x -1)e^x `

` = (e^x +xe^x)e^x + (xe^x -1)e^x `

` = ( e^x +xe^ex +xe^x -1)e^x `

` = (e^x -1 + 2xe^x)e^x `

`=> forall x in R : f'(x) = (e^x -1 + 2xe^x)e^x`